Hallo pedder,
ja der junge Robert hat mich mit seinem famosen CEIIINOSSSTTUV inspiriert und geflüstert, dass 10kN/mm2 das Infimum für Young's Modulus von Birke Multiplexus sei. Wie dem auch sei, je größer, desdo besser ist ja hier bekanntlich gut. Mit der Wichte liegst du aber mindestens 100 g/l zu hoch (wo hast du denn deine 760 g/l her?).
Aber recht hast du schon, das Eigengewicht muss auf alle Fälle berücksicht werden, wenn mans genau haben will. Nun wird die Rechnung aber kompliziert, denn das Eigengewicht geht ja als Flächenlast (N/m2) ein, wohingegen meine voreilig angesetzte Punktlast (sowas gibts ja nur bei strenger theoretischer Betrachtung) die inkompatibele Einheit N hat.
Was nun? Schlage vor, dass wir die Gewichtskraft der Platte umlegen auf die Länge (einigen wir uns auf (meine 700 N + deine 920 N ) halbe dividiert durch 2,70m, macht dann 300 N/m, eine schöne runde Zahl, einverstanden? Nun müssen wir noch meine singuläre Punktlast von 1000 N auf die Länge umlegen, also 1000 N / 2,70m macht dann 370 N/m. Und Gott-sei-Dank sind beide Werte nun kompatibel und damit addierbar, also Gesamtstreckenlast gleich 300 + 370 macht 670 N/m.
Damit kann man gut leben, und die bekannte Lösung der Differentialgleichung vierter Ordnung der Biegelinie führt auf die max. Durchbiegung in Brettmitte zu fmax = 5 * q * L hoch 4 / (384 * E * Iy). Mit q = 670 N/m/1000/(mm/m) = 0,67 N/mm, L = 2700 mm, E = die bekannten 10 kN/mm2 aus Roberts Anagramm, Iy = 900 x 50 x 50 x 50 mm3/12 = 9975000 mm4, macht also fmax = 5 * 0,67 N/mm * 2700 hoch 4 mm4 / (384 * 10000 N/mm2 * 9975000 mm4) = 4,7mm.
Also bei Streckenlast inklusive Eigengewicht der Platte eine max. Durchbiegung von nur 4,7mm. (Das ist nicht verwunderlich, denn Streckenlasten sind gegenüber Punktlasten viel harmloser. Hab da bewusst, aber physikalisch korrekt "geschummelt".)
Was den Zeitablauf betrifft: Da ist Holz ja wieder Gott-sei-Dank keine rheologische Flüssigkeit oder gar kriechfähige Materie, und es gilt wieder "Ut tensio, sic vis", um beim Klartext vom Robert zu bleiben. Bei derart kleiner Belastung, siehe oben 0,67 kN/m, gibts noch keine plastischen Verformungen (Holz hat ja eigentlich gar keine, da würd's sofort Krach-Krach machen, siehe etwa das traurige Bad Reichenhall, 2006). Demzufolge sind auch keine irreversiblen, zeitabhängigen Durchhänger zu erwarten, einfach Ut tensio, sic vis.
NU aber sic!
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hütte
