Winkelberechnung Bogenkonstruktion.

[marcelluswallace]

Hallo, ich habe für eine kleine Gartenparcelle eine Holzbogenkonstruktion nach Vorbild der "Leonardo-Brücke" zusammengeschustert.

Sie ist selbsttragend und kommt ohne jegliche Verschraubung etc. aus und wird durch die Verkeilung und Gravitation zusammengehalten. Nun habe ich das ganze mit Augenmaß "entworfen" und hatte, wie es sich jetzt rausgestellt hat, ziemliches Glück, dass das alles direkt so hingehauen hat. Ich wollte jetzt nämlich noch ein zweiten Bogen bauen und beim ersten Versuch das Ding zusammen zu bauen sah die Konstruktion nicht wie links sondern wie rechts aus:

So ist das Teil vollkommen instabil und fällt direkt wieder zusammen. Mein Fehler war, dass ich nicht beachtet habe, dass die Materialstärke auf den Winkel der Bogenglieder Auswirkungen hat. Beim ersten erfolgreichen Bogen hab ich mit Kanthölzern 6,5x6,5cm gearbeitet, beim zweiten mit Kanthölzern von 7,5x7,5cm Stärke. Ich konnte den Fehler zwar ausbessern, indem ich jede runde Nut (oder wie würdet ihr das nennen) 0,5cm tiefer ausgehöhlt habe aber das war natürlich doppelte Arbeit. Was mich nun interessieren würde, wie man den Winkel im Vorfeld berechnen kann in Abhängigkeit von Materialstärke (bzw. Tiefe der runden Nut) und Abstand der Nuten zueinander. Noch ein Modell, sodass es vielleicht ein bisschen klarer wird:

Die Kanthölzer haben eine Länge von 160cm und sind 6,5cm stark. Die halbrunden Nuten mit einem Radius von 2,5cm sind bei 20, 40 , 120 und 140cm eingearbeitet. Der Durchmesser der runden Pfosten beträgt 5cm. Mit diesen Werten sind die Endwinkel der Konstruktion passabel und es steht wie ne 1. Was ich nun wissen möchte ist, wenn ich mit anderen Materialstärke arbeite, z.B. Kanthölzer mit 7,5cm Stärke, wie ich dann die Position der halbrunden Nuten ändern muss, dass ich den gleichen Winkel bekomme - wenn ich sie im gleichen Abstand (20cm zueinander) belasse verändert sich der Winkel drastisch. ich habe den Steigungswinkel für das Beispiel mit 6,5cm Kanthölzern berechnet und komme auf ~4,3° (1,5cm Steigung auf 20cm). Wie man das aber nun auf den Winkel, den die 6 Bogenglieder untereinander haben, umrechnet weiß ich leider nicht und da bräuchte ich Hilfe. Das ist jetzt ganz schön lang und vielleicht verwirrend geworden. Bin für jeden Hinweis dankbar.

 

[IngoS]

Hallo,

Mach auf einer Platte einen Aufriss 1 : 1. Einfach festzulegen ist doch der Winkel von zwei Streben. Hast du diesen einen Kreuzungspunkt gezeichnet, lassen sich die Rundhölzer mit Lage und Durchmesser leicht einzeichnen.

Gruß Ingo

 

[KalterBach]

runde Nut (oder wie würdet ihr das nennen)

Wir nennen es ebenfalls Nut.

Bin für jeden Hinweis dankbar.

Anriss aus der Balkenmitte. Dann kann der Abstand der Nut bleiben, nur die Nuttiefe wird größer. Da alle Nuten vertieft werden, verdoppelt sich der Einfluss auf den Winkel.

Wenn Du die Abstand der Nuten vergrößerst, reicht vermutlich die Balkenlänge nicht aus, um ein passables Ergebnis zu erzielen.

Grob überschlagen kannst Du das mit b/r = alpha/rho.

Daraus folgt, sofern ich nicht irre, dass eine Verdoppelung des Abstandes einer Erhöhung um die halbe Nuttiefe entspricht.

 

[Kaltregen]

Hallo,

ich komme da auf folgende Formeln:

ARCTAN((Kantholzbreite + Rundholzdurchmesser - 2 * Nuttiefe) / Abstand) * 2 = Winkel der Kanthölzer untereinander

(Kantholzbreite + Rundholzdurchmesser - 2 * Nuttiefe) / TAN(Winkel der Kanthölzer untereinander / 2) = Abstand

Die Linie zwischen den beiden Mittelpunkten der Rundhölzer steht ja in einem bestimmten Winkel zur Längsachse des Kantholzes. Und dieser Winkel lässt sich gut berechnen. Da dies bei beiden Kanthölzern der gleiche Winkel ist, ist zwei mal dieser Winkel der Winkel den die Kanthölzer untereinander haben. Bei der ersten Konstruktion wäre das:

ARCTAN((6,5 + 5 - 2 * 2,5) / 20) * 2 = 36,01

Also 36°

Wenn du für die 7,5 cm Kanthölzer den gleichen Winkel willst ohne die Nut zu vertiefen, kannst du mit der zweiten Formel den Abstand berechnen:

(7,5 + 5 - 2 * 2,5) / TAN(36,01 / 2) = 23,08

Also 23,1 cm

Ich nehme an dass bei dir dann Ungenauigkeiten in der Dicke der Kanthölzer oder Rundhölzer sind, sonst müssten nach meiner Rechnung die beiden Endkanthölzer senkrecht zum Boden stehen. Aber schon bei 0,1 cm weniger Dicke stehen sie 1,5° schräg, also sollte alles stimmen.

Ich hoffe das hilft dir weiter.

Viele Grüße, Michael

 

[Marsu65]

Hallo,
mit a = Abstand der Nuten, und b = Brettbreite
kannst du mit 2 x arctan(b/a) den Winkel zwischen zwei Hölzern berechnen.
(Drehpunkte bzw. Rundholzmitte auf den Brettkanten)
Für deine erste Konstruktion ergibt sich
2 x arctan(6,5/20) = 36°
Die 36° mal fünf Verbindungen ergibt den Bogen von 180°, die nicht überschritten werden dürfen bzw. sollte die Summe deutlich kleiner sein.
Bei 7,5 waren es Einzelwinkel von gut 41° , in Summe gut 205° - zu viel für den Bogen.
Dadurch, dass du die Nut vertieft hast, hast du künstlich die Brettstärke kleiner gemacht.
somit passte das dann wieder.

Gruß Marsu

EDIT Michael @Kaltregen kam ein paar Sekunden schneller auf die selbe Lösung, sollte also passen.

 

[hobbybohrer]

Hallo,
ich würde das andersherum angehen:
Du baust aus sechs Kanthölzern diesen Bogen. Alle Winkel zwischen den langen Abschnitten sind gleich. Dann liegt es nahe, von einem regelmäßigen Zwölfeck auszugehen, das durch zwei gegenüberliegende Ecken geteilt ist.
Die Summe der Innenwinkel beträgt (12-2)*180°=1800°, jeder ist also 150° groß. Daraus ergibt sich ein Winkel von 30° von Balken zu Balken. Die äußeren Balken sind 15° aus der Senkrechten nach innen gekippt.
Nun kannst Du die Nuten und Rundhölzer so wählen, dass sie in diesen 30°-Winkel passen.
Hier könnte man für ein Rundholzpaar die Rundnuten am jeweils oben und unten im Kreuzungspunkt zentrieren. und beide Nuten auf einmal bohren. Den Abstand der Nuten ermittelt man durch Anzeichen der Kantenschnittpunkte der mit 30° gekreuzten Balken.
Geht also ohne Taschenrechner ganz einfach. Der Durchmesser der Rundhölzer ist dabei egal und die Balkenstärke auch!
Grüße Richard

 

[U.Tho]

Der Entwurf rechts MUSS zusammenbrechen - die Beine gehen im Gegensatz zum Entwurf links nach innen, die müssen nach außen gehen.

 

[magmog]

Moin,

vorher einen Aufriss anfertigen, kann auch jetzt noch helfen.

 

[marcelluswallace]

Danke für eure Beiträge, ich guck mir das nachher alles nochmal in Ruhe an.

Ich nehme an dass bei dir dann Ungenauigkeiten in der Dicke der Kanthölzer oder Rundhölzer sind, sonst müssten nach meiner Rechnung die beiden Endkanthölzer senkrecht zum Boden stehen. Aber schon bei 0,1 cm weniger Dicke stehen sie 1,5° schräg, also sollte alles stimmen.

Ja in der Tat, hab mich beim Schreiben den Eingangsposts bei den Maßen vertan, es handelte sich um Kanthölzer mit einer Stärke von 63mm +- 1mm.

 

[raziausdud]

Hallo zusammen,

bisher hatte ich zum Thema nichts weiteres beizutragen. Jetzt kommt mir aber in den Sinn, ob Du beim zweiten Modell eventuell die Hölzer verdreht aufgebaut hast. Also dass die oberen Nuten nun weiter innen und die unteren weiter außen sind, anders herum als in den Grafiken aus #1 zu sehen.
Ich weiss aber ehrlich gesagt nicht, ob so zumindest der obere Teil des zweiten Modells überhaupt zusammenhalten würde. Ich müsste das (auch) mal zeichnen.

Rainer

 

[Macchia]

...warum zeichnest du nicht in Sketchup alles fertig und läßt dir die Winkel und Längen anzeigen?
Da diese Konstruktion eigentlich auf Reibung hält würde ich mir die Kerben sparen und Notfalls mit Nägel/Schrauben sichern.
Das erspart dir die Rechnerei und Arbeit.

In diesem Fall ist bei gegebener Breite eine gewisse Höhe gewünscht, dass ist mit diesem Prinzip
nicht ohne weiteres möglich,
daher würde ich die ersten beiden Längsträger auf beiden Seiten die
im Boden stecken nicht als Leonardo Element ausführen, sondern als eigenständige Basis und senkrecht.
Auf diese dann die Leonardo Konstruktion die dann ohne den ersten kritischen, fehlenden Reibungspunkt auskommen kann.

 

[marcelluswallace]

Danke nochmal an @Kaltregen und @Marsu65, genau danach habe ich gesucht. Ich habe mir mal ein paar Skizzen gemacht und ein Winkel zwischen 30° (regelmäßiges Zwölfeck, wie von @hobbybohrer vorgeschlagen) und 33° scheint mir perfekt.

@Macchia mich hat bei diesem Projekt der Ansatz ohne Verschraubungen etc. zu arbeiten gereizt. Theoretisch sollte die Konstruktion ohne die Nuten halten aber praktisch macht das keinen Sinn - ist so viel einfacher zusammen zu bauen und wenn man das Teil mal anpustet fällt es nicht direkt auseinander. Eigentlich lässt sich die Höhe auch relativ gut variieren ohne wesentlich in die Breite gehen zu müssen. Man kann ja einfach die Kanthölzer, die den Boden berühren länger belassen. Die Konstruktion wird zwar breiter aber unwesentlich. Problematisch ist es nur wenn man eine bestimmte Breite einhalten muss, war bei mir zwar auch der Fall aber ich finde den Bogen hoch genug (~2,2m).