Wahrscheinlichkeiten mathematisch

[Mitglied 59145]

Da es hier Forenmitglieder immer gerne Recht haben, hier mal eine Frage. Bitte nur mathematisch betrachten und erklären.

Einmal habe ich 1000 Fälle bei denen Ereignis x mit 20% Wahrscheinlichkeit Eintritt.

Beim zweiten Fall habe ich 5 Fälle bei denen Ereignis x mit 20% Wahrscheinlichkeit Eintritt.

Ist die Chance eine Abweichung zu der 20% Wahrscheinlichkeit bei 5 Fällen zu haben nicht deutlich höher?

Die Menge der Fälle ist doch bei Wahrscheinlichkeitsrechnung und derer Verlässlichkeit im Ergebnis ziemlich wichtig?

Klar, die Wahrscheinlichkeit ist gleich, aber verlässlicher ist das Ergebnis doch, je mehr Fälle ich habe.

 

[U.Tho]

Ist die Chance eine Abweichung zu der 20% Wahrscheinlichkeit bei 5 Fällen zu haben nicht deutlich höher?

Würde ich auch mal behaupten. 20 % von 5 ist ja gerade mal 1. Wenn dann mal nicht diese eine "1" zutrifft, ist der Anteil an der Gesamtmasse ja gleich Null.
Was mir in meiner Praxis dazu einfällt:
Bei meinen Staubschutzwänden (abgehangene Folien) befestige ich an der Decke generell min. mit 2 Schrauben - falls eine nicht hält, habe ich immer noch 50 %. Wenn ich nur mit einer Schraube befestige und die hält nicht habe ich gleich 0 % Befestigung.

 

[Herr Dalbergia]

Da es hier Forenmitglieder immer gerne Recht haben,

GRAMMATIK !!!
Man
Man
Man....JUNGE !!

 

[x-sch]

Die Antwort lautet ja und nein!
Es spielt in der Statistik mehr eine Rolle wie diese genannten Zahlen.
Kann das Ereignis nur die 5 respektiere 1000 betreffen. (Ich vermute die Frage betrifft einen anderen threat)
Dann ist es so: in der Gesamtbevölkerung ist das Risiko bei x dass jemand krank wird und jetzt kommt die Wahrscheinlichkeit hinzu, dass die Person die unter x fällt auch gleichzeitig Teil der 5 und Teil der 1000 ist.
Ein Stichwort in der Statistik ist Grundgesamtheit. Im Endeffekt muss für die richtige Wahrscheinlichkeit das richtige Modell ausgewählt /erstellt werden.

 

[Gelöschtes Mitglied 109767]

Um den Zusammenhang und das in einem anderen Thread Gesagte richtig zu erfassen hier die Aussage die zu der Frage von @benben geführt hat:

Beispiel:
20% der Mitarbeiter von Betrieben in Deutshland haben Corona und können nicht arbeiten.
Das ist dann bei einem 5 Mann Betrieb ein Mitarbeiter und bei einem 100 Mann Betrieb sind das 20 Mitarbeiter. Das Problem ist also exakt das gleiche...

Und die Wahrscheinlichkeit, dass jemand krank wird ist auch gleich - unabhängig von der Firmengröße. Also trifft es große Firmen öfter als kleine Firmen, aber im Verhältnis ist es wieder gleich.

Viele Grüße
Alois

 

[pedder]

Ist die wahrschelinlichkeit, das bei 5 Proben 100 % eintreten nicht 0,2 hoch 5 und bei 1000 0,2 hoch 1000? Stochastik ist aber sehr lange her.

 

[VENEREA]

Ich glaube das war eher darauf bezogen.

Kleinbetrieb: 5 Leute einer bricht sich das Bein dann müssen 4 die Arbeit von 5 machen. 80%-100%
Großbetrieb: 100 Leute. einer bricht sich das Bein dann müssen 99 die Arbeit von 100 machen. 99%-100%

Die Wahrscheinlichkeit das 5 im Großbetrieb gleichzeitig das Bein gebrochen haben ist auf alle Fälle geringer, kann es nicht ausrechnen bin nur "Schreiner"

Das war in dem anderen Tread auch die Frage hinter der Frage.

Gruß Sebastian

 

[dermwo]

[...]
Kleinbetrieb: 5 Leute einer bricht sich das Bein dann müssen 4 die Arbeit von 5 machen. 80%-100%
Großbetrieb: 100 Leute. einer bricht sich das Bein dann müssen 99 die Arbeit von 100 machen. 99%-100%

Die Wahrscheinlichkeit das 5 im Großbetrieb gleichzeitig das Bein gebrochen haben ist auf alle Fälle geringer, kann es nicht ausrechnen bin nur "Schreiner"
[...]

Das ist die Crux bei der Wahrscheinlichkeit: Die absolute Zahl der Mitarbeiter ist hier nicht relevant. Wie x-sch schrieb:

Ein beliebiger Mitarbeiter "x" hat eine Wahrscheinlichkeit von 10% sich das Bein zu brechen. Nun hat jeder Mitarbeiter einer Firma also eine Wahrscheinlichkeit von 10% sich das Bein zu brechen.
Dadurch ist es egal ob ich jetzt 5, 100 oder 10.000 Mitarbeiter habe. Jeder einzelne hat eine Wahrscheinlichkeit von 10% sich das Bein zu brechen.

 

[Gelöscht stwe]

Die Menge der Fälle ist doch bei Wahrscheinlichkeitsrechnung und derer Verlässlichkeit im Ergebnis ziemlich wichtig?

Klar, die Wahrscheinlichkeit ist gleich, aber verlässlicher ist das Ergebnis doch, je mehr Fälle ich habe.

Ja, das fällt in der Stochastik unter den Begriff Gesetz der großen Zahlen. Je größer die Stichprobe, umso kleiner ist die Rolle des Zufalls.

In deinem Beispiel: die Wahrscheinlichkeit dass in der 5er Gruppe das Ereignis auch fünfmal eintritt ist gar nicht so klein. Bei der 1000er Stichprobe beschreibt die Wahrscheinlichkeit aber relativ genau die tatsächliche Häufigkeitsverteilung.

 

[Gelöschtes Mitglied 109767]

Hallo Sebastian,

Kleinbetrieb: 5 Leute einer bricht sich das Bein dann müssen 4 die Arbeit von 5 machen. 80%-100%
Großbetrieb: 100 Leute. einer bricht sich das Bein dann müssen 99 die Arbeit von 100 machen. 99%-100%

Das ist absolut richtig. Bei der o.g. Aussage ging es jedoch darum, dass die Wahrscheinlichkeit krank zu werden in jedem Betrieb gleich ist - unabhängig von der Größe.
Es könnte also genau so sein, dass im kleinen Betrieb keiner krankheitsbedingt ausfällt (weil der prozentuale Anteil mathematisch unter 1 ist) und gleichzeitig im großen Betrieb 5 Leute krank sind. Siehe Corona. Damit wäre der kleine Betrieb im Vorteil.

Deine Festlegung "bricht sich ein Bein" ist ein zusätzlicher Parameter der aber aus meiner Sicht nicht relevant ist weil es egal ist warum jemand nicht arbeiten kann.

Viele Grüße
Alois

 

[Gelöscht stwe]

Da kamen ein paar Posts dazwischen, deshalb nochmal: In dem diskutierten Fall geht es ja eigentlich gar nicht um die Wahrscheinlichkeit sondern um die Häufigkeitsverteilung. Man will wissen, wie oft das Ereignis x bei gegebener Stichprobengröße n eintritt (und mit welcher Wahrscheinlichkeit). Und da ist es halt so, dass bei einer kleinen Stichprobe ein Ausreißer viel wahrscheinlicher ist als bei einer großen Stichprobe. Andersherum gesagt, die Wahrscheinlichkeit von 20% beschreibt bei der Stichprobe von 1000 die tatsächliche Häufigkeitsverteilung sehr genau, bei einer Stichprobe von 5 nicht so genau.

 

[inselino]

Die Wahrscheinlichkeit das 5 im Großbetrieb gleichzeitig das Bein gebrochen haben ist auf alle Fälle geringer, kann es nicht ausrechnen bin nur "Schreiner"

Das ist leider falsch. Das ist ja der Witz an Prozentrechnung. Wenn du es über Wahrscheinlichkeiten erfasst, dann sind 20% von 100 genauso Wahrscheinlich wie 20% denn der Schienbeinknochen weiß ja nicht, wie groß die Belegschaft ist. Wie aber stwe sagt reden wir eher über Häufigkeitsverteilungen.

Jetzt mal zum Szenario und generell zu Statistik. Statistik ist generell dafür ausgelegt große Zahlen zu beschreiben und nicht kleine Zahlen. Sprich, wenn du 1000 mal würfelst, wird da statistisch 1/6 der Würfelwürfe eine 6 sein.
Wenn du dir aus den 1000 Würfeln aber jetzt eine 5er Serie raussuchst wirst du sicher eine finden, wo keine 1 aber dafür 2 sechser dabei sind. Ist darum die 6 jetzt wahrscheinlicher als die 1? Nein sie ist nicht wahrscheinlicher, denn der Würfel hat sich nicht verändert. Die Verteilung kann aber sehr wohl variieren.

Wir können im vorhanden Beispiel (und das wurde auch im Originalthema ja auch diskutiert) die Zahl allerdings künstlich vergrößern undzwar über die Zeit. Sprich, wenn wir auf den Arbeitsstundenausfall innerhalb von mehreren Kalenderjahren schauen kommt auch ein kleiner Betrieb in den Bereich großer Zahlen. Natürlich verursacht das praktische Probleme, da man Projekte nicht auf 3 Jahre schieben kann aber hier wollen wir ja bei der Theorie bleiben.

 

[Gelöschtes Mitglied 109767]

Das ist offensichtlich das Problem: manche meinen Häufigkeitsverteilung aber sprechen von Wahrscheinlichkeit

Wenn ich Eiche will, dann muss ich Eiche sagen und nicht Fichte. Sonst bekomme ich Fichte

Viele Grüße
Alois

 

[wasmachen]

Erklär das mit den 20% Coronakranke n 2 Mann Betrieb.
20% krank gibts ned.
Entweder sind beide da, oder einer fehlt.
Wenn einer fehlt = 100% Mehrarbeit für den anderen....

Traue keiner Sratistik, die du nicht selber gefälscht hast

 

[fragnix]

Ich verstehe die Frage so: Die Wahrscheinlichkeit ist bei beiden Betrieben gleich: 20%. Zur Verdeutlichung: Es geht nicht um gebrochene Beine. Denkt an Corona, oder glaubt einfach an die 20%. Zudem vermeine ich voraussetzen zu können, dass es sich nicht um Momentanaufnahmen handeln soll, sondern über einen Zeitraum, z.B. ein Jahr, betrachtet werden soll.

Frage: Ist die Chance eine Abweichung zu der 20% Wahrscheinlichkeit bei 5 Fällen (vermutlich: Leuten) zu haben nicht deutlich höher?

Zusatzbitte: Bitte nur mathematisch betrachten und erklären.

Eintrittwahrscheinlichkeit "genau 20%" bei 5 Leuten: P(x=1) = (5 über 1) x 0,2 hoch 1 x 0,8 hoch 4
= 0,4096 ~ 41%
=> Chance auf Abweichung zu der 20% Wahrscheinlichkeit ist ungefähr 100%-41% = 59%

Eintrittwahrscheinlichkeit "genau 20%" bei 1000 Leuten: P(x=200) = (1000 über 200) x 0,2 hoch 200 x 0,8 hoch 800
[ich rechnete noch, wollte nur schon posten, damit nicht noch mehr unmathematische Posts kommen]
~ 6,6e216 x 1,6e-140 x 2,96e-78
~ 31,2576e-2
~ 31%
=> Chance auf Abweichung zu der 20% Wahrscheinlichkeit ist ungefähr 100%-31% = 69%

@benben : Antwort: Die Chance auf Abweichung zu der 20% Wahrscheinlichkeit ist bei 5 Leuten geringer als bei 1000 Leuten
Als Grund vermute ich, dass es bei 1000 Leuten und 200 Fällen "leichter" ist, vom Durchschnittswert 200 wegzukommen. 199 ist ja schon nicht mehr genau 20%.
Die errechneten Prozente erschliessen sich mir nicht; ich folge nur der Berechnung, und hoffe, dass ich nicht völlig falsch gerechnet habe. Immerhin kommen Werte zwischen 0 und 100 heraus, das ist ein Indiz, dass ich ungefähr richtig gerechnet habe.
Wahrscheinlich wäre es sinnvoller gewesen, nach Abweichung ausserhalb 15%-25% zu fragen. Ich habe jetzt nach "genau 20%" gerechnet. Das mag mathematisch korrekt sein, aber eventuell in der Praxis schlicht irrelevant. Dennoch: Da war eine mathematische Frage, und ich konnte nicht widerstehen

P.S.: Die Zahlen sind mir zu hoch, ich komme da mit Berechnen nicht hinterher, und erinnere mich nicht an sinnvolle Kürzungen. mea culpa!

Die Hervorhebung dient nur der besseren Lesbarkeit. Ich will meine Aussagen nicht als sonderlich wichtig darstellen.

 

[Mitglied 59145]

Es geht einfach darum, wie ich ja auch als schon mehrfach schrieb, dass es einfach schlechter planbar ist. Das Problem ist nicht der 5 Jahres Schnitt. Das Problem ist, es kommt häufiger vor dass 2 von 5 ausfallen als es die Wahrscheinlichkeit vorsieht.

Zuverlässiger tritt die Wahrscheinlichkeit ein, wenn die Menge größer ist.

Also jetzt die Größe Frage, was nützt mir die Wahrscheinlichkeit bei der Planung eines 5 Mann Betriebes mit kurzen Fertigungsperioden?

Noch zum genauen Benennen, würden wir das bei allen hier auftretenden Threads so handhaben, würde hier nicht viel geholfen werden können.

@stwe hat es doch vortrefflich erklärt.

@Alos bitte ich um hoheitliche Entschuldigung, dass ich die Fachbegriffe nicht kenne.Andere waren ja im Stande zu verstehen um was es mir ging.
Aber toll wie du recht hast, ich bin beeindruckt.EEs gging nicht um den einen Post, eher auf die sehr belehrenden PN von dir.

 

[wirklich_rainer_zufall]

Bitte betrachtet doch die Verteilung der Krankentage und nicht den einen Punkt wo es zu einem gehäuften Krankenstand kommt. Gerade bei Grippe, Corona oder Magen-Darm-Virus kann es schnell mal zu einem kurzen Ausfall der (fast kompletten) Belegschaft kommen.

Arbeitstage in 2022 (5-Tage-Woche) 252, abzüglich 30 Tagen Urlaub ergibt 222 Tage. In der 5 Mann Firma sind 1110 Manntage pro Jahr maximal möglich. Laut TK waren 14,5 Tage Krankenstand bei der erwerbstätigen Bevölkerung. ( Trotz Corona: 2021 niedrigster Krankenstand seit acht Jahren | Die Techniker - Presse & Politik (tk.de) ) Von den maximalen 1110 Manntagen stehen nur noch 1037,5 Tage zur Verfügung. Je länger der untersuchte Zeitraum, desto geglätteter das Ergebnis. Es ist ja nicht jedes Jahr eine Pandemie oder ein schwerer Autounfall nachdem 3 Gesellen 2 Monate krank sind. Wenn alle 5 MA eine Woche durch Corona ausfallen ist das immer noch weniger als ein Mitarbeiter der 6 Wochen mit gebrochenem Bein zu Hause sitzt.

Der Erwartungswert ist also 14,5 Krankentage. Eine kleine Stichprobengröße kann natürlich zu einer erheblichen Varianz führen. Aber je größer der Stichprobenumfang wird, desto verlässlicher und geglätteter die Zahlen. Ob man die 5 Mann Firma nun 5 Jahre beobachtet oder die 25 Mann Firma 1 Jahr ergibt den gleichen Stichprobenumfang.

Die kolportierte Schlechterstellung von kleinen Firmen die angedeutet wurde mit dem Argument das in der Industrie alles mehrfach besetzt ist möchte ich nicht gelten lassen. In dem traditionellen kleinen Handwerksbetrieb mit 5 MA ist die einzige Frau die Frau vom Chef. Das Schwangerschaftsrisiko und die häufigen Krankentage in den ersten Kinderjahren als unternehmerisches Risiko ist also recht gering. Zudem ist zu unterscheiden was denn schlimmer ist a) nicht zur Verfügung stehende Arbeitskraft oder b) zuviel gezahlter Lohn. Und da gibt es mehrere Sicherungsmethoden um statistische Ausreißer abzudämpfen. Bei Langzeiterkrankten zahlt die Krankenkasse von Woche 7 bis 72 eine Lohnersatzleistung. Mutterschutz wird ersetzt und Arbeitsunfälle über die BG abgefedert. Rehamaßnahmen zusätzlich noch über den Rentenversicherungsträger. Damit ist auch gesichert das die kleine Firma nicht im Falle eines statistischen Ausreißers gleich in die Insolvenz gerissen wird. Was nützt es dem Chef denn wenn in 2020 und 2021 die 5 MA nur je 30 Tage krank waren und aber in 2022 schon 157,5 krank waren durch 2 Langzeiterkrankte mit je 60 Tagen. In Summe stimmen wieder auf 3 Jahre die 14,5 Tage, die Firma aber nach einem Beinbruch einem Long-Covid-Fall Pleite.

 

[wirklich_rainer_zufall]

@fragnix Die Varianz und Standardabweichung ist bei einer 5 Mann Firma viel höher als bei einer 1000 Mann Firma. Müsste man doch die kleine Firma 200 Jahre lang beobachten für den gleichen Stimmprobenumfang.

 

[Gelöschtes Mitglied 109767]

bitte ich um hoheitliche Entschuldigung, dass ich die Fachbegriffe nicht kenne.Andere waren ja im Stande zu verstehen um was es mir ging.
Aber toll wie du recht hast, ich bin beeindruckt.EEs gging nicht um den einen Post, eher auf die sehr belehrenden PN von dir.

In den - wie du es nennst "belehrenden PN" - habe ich mit großer Geduld und in mehreren Beiträgen versucht dir das Thema zu erklären. So wie es jetzt oben auch mehrfach erklärt wurde.
Deine Reaktion war, dass es dir "scheißegal" ist und dich "nicht interessiert wie man des mathematisch darstellt".

Da stellt sich dann schon die Frage warum du jetzt hier so ein Fass aufmachst. Und gleichzeitig forderst:

Bitte nur mathematisch betrachten und erklären.

Was soll das Ganze dann?

Aber wenigstes glaubst du ja hoffentlich / offensichtlich den Anderen hier.

Kopfschüttel
Alois

 

[Mitglied 59145]

Wir können den Verlauf gerne komplett veröffentlichen. Dann kann sich jeder sein Bild machen. Bevor ich irgendwas weiteres geschrieben habe als den Eingangspist, hast du, geschätzter Alos, doch das ganze in Bezug zu irgendwas gebracht.

Man kann verstehen, sofern man möchte. Man kann auch recht haben wenn man das unbedingt möchte.

Man kann auch Aussagen aus dem Zusammenhang reißen, damit man recht hat, wenn man denn möchte.

 

[Leibhaftiger]

Würdet Ihr beide Euch bitte ein Eis oder kaltes Getränk holen und es dann gut sein lassen?

 

[Mitglied 59145]

Ist ja jetzt auch zum xten mal alles gesagt. Ich weiss jetzt die richtigen Begriffe, damit auch der letzte versteht was ich meine.

 

[inselino]

@fragnix Du hast den Fehler in deiner Rechnung tatsächlich ganz gut beschrieben.
Darum würde man da auch eigentlich eine Kurve drüber legen und dann eine Standardabweichung oder ein Intervall angeben.
Das wird dann aber sehr schnell sehr kompliziert, da du ja dann zufällige Krankeitsereignisse über ein Jahr verteilst und schaust, wann wo Überlappungen auftreten. Vielleicht bekomme ich da was gerechnet aber sicher nicht mehr heute.

 

[Frank73]

Schön zu sehen wie man das rechnet.
Das ist jetzt wirklich mein ernst.
Aber eigentlich ist es doch egal, denn für mich ist es klar das ich in einem Kleinstbetrieb mehr arbeiten muss wenn einer ausfällt. In einem Großbetrieb kann das leichter aufgefangen werden.
Außer der kranke Mitarbeiter hat einen speziellen Job, den nur er kann. Dad finde ich in einem Großbetrieb aber eher unwahrscheinlich.

 

[VENEREA]

Ich dachte die ganze Situation ist aus Posting wo es um Arbeitszeiten geht entstanden.
Und ich bleibe bei meiner Annahme.

die 20%-30-50-80% bleiben natürlich immer gleich, aber nicht gleichzeitig.

Annahme: Jeder bricht sich alle 5 Jahre einmal das Bein:
Also ich habe einen 5 Mann Betrieb und bin zu 100% ausgelastet.
Jetzt bricht sich einer ein Bein, dann müssen die 4 anderen die 100% Arbeit stemmen.

In einem 100 Mann Betrieb werden sich sicher keine 20 das Bein gleichzeitig brechen.
Im Lauf von 5 Jahren natürlich schon aber nicht gleichzeitig.



Wenn ein Mitarbeiter in einem 5 Mann Betrieb wegen Beinbruch 6 Wochen ausfällt ist das was anderes als wenn ein Mitarbeiter in einem 5000 Mann Betrieb wegen Beinbruch 6 Wochen ausfällt.
Oder brechen sich da gleich 1000 Leute gleichzeitig das Bein?

Gruß Sebastian