Quadrate berechnen

[Neige]

Hallo Miteinander,

Ich stehe mal wieder völlig auf dem Schlauch. Ich soll ein Raumteiler bauen, der quasi ein Rankengitter hat. Der Raumteiler soll nacher so aussehen:


Nun hab ich das Problem, dass mir einfach nicht mehr die Formel einfallen will, mit der man berechnet, wieviel gleichgroße Quadrate in das Rechteck passen.


Kann mir da mal jemand auf die Sprünge helfen?

 

[drwitt]

Interessante Frage, wusste nicht, dass man das berechnen kann. Hab eben ganz platt gegoogelt: https://www.gutefrage.net/frage/wie-viele-gleichgrosse-quadrate-passen-in-ein-rechteck
VG

 

[elmgi]

Hallo Sigi,

lass hier einfach einmal die Mathematik (weitgehend) bei Seite und sehe es von der
praktischen Seite aus (eine dbzgl. Formel (wie gewünscht) ist mir persönlich nicht bekannt... ).

Du willst ja wohl die Quadratseiten parallel zu den Rechteckseiten haben (??) und dabei auch
eine Mindestgröße der Quadrate einhalten, sofern ich Dich recht verstanden habe.

Ich würde dann von der kleineren Rechteckseite ausgehen und schauen, wie viele Quadratseitenlängen ich hier sinnvoll unterbringen kann. Damit liegt dann auch die Größe der Quadrate fest. Der Rest wäre dann über Blenden etc. anzupassen.

 

[Neige]

@drwitt
Danke für den Link. Dass muss ich mir in Ruhe durchlesen, noch ist mir das zu hoch.

@elmgi
Auch dir vielen Dank. Es gibt tatsächlich ein Formel, mit der sich exakt die Anzahl und Größe von Quadraten berechnen lassen. Mit ausmessen und ermitteln wirste ja dabbig. Ich muss den o.g. Link was der da schreibt mal genau studieren. Die Formel hatte ich mir mal aufgeschrieben, find sie aber nicht mehr.

 

[raziausdud]

Hallo Sigi;

zuerst falsche Rechnung - deshalb erstmal wieder gelöscht. Ich überlege noch .....

und bin jetzt zu diesem Ergebnis gekommen (einfacher als meine erste Überlegung):

Gesamtstrecke a geteilt durch Anzahl der Fächer A = Abmessung des Einzelfachs c (Mitte, Materialstärke nicht berücksichtigt). Für Breite und Höhe getrennt rechnen, durch Ausprobieren mit 5,6, oder zig Fächern herausfinden, ob sich daraus kleine Quadrate oder Rechtecke ergeben.

Hat man die Anzahl der Quadrate oder Rechtecke gefunden, könnte man durch Abziehen der addierten Materialstärken der Sprossen den Zwischenraum finden.

Rainer

p.s.: Andreas nach und Elmar vor mir haben im Prinzip das Gleiche geschrieben ... aber halt anders ...

 

[andreas_w]

Hallo zusammen!

Kommt ein bisschen auf die Grösse der Quadrate an. Jeder gemeinsame Teiler der Seitenlängen a und b sind mögliche Seitenlänge der Quadrate. Um möglichst kleine Quadrate zu bekommen nimmst du den kleinsten gemeinsamen Teiler um möglichst grosse zu bekommen den größten gemeinsamen Teiler.

Schöne Grüße Andreas

 

[Fidgety Feet]

Mathematiker können daraus bestimmt eine Gleichung machen.

Ich bin zwar kein Mathematiker, kenne mich aber für den Hausgebrauch gut damit aus. Das Problem erscheint so nicht lösbar, weil in der Aufgabenstellung von @Neige eine Definition des Quadrates in Bezug auf die Fläche des auszufüllenden Rechtecks fehlt. Daraus errechnen sich ganzzahlige Faktoren, mit denen die Gesamtzahl der Quadrate ausgedrückt wird. Natürlich kann man mit Hilfe einer Iteration zu einem Ergebnis kommen. Vorzugsweise einer Newtonschen Iteration könnte man einen automatisierten Vorgang ablaufen lassen, aber ganz sicher nicht zu Fuß, notfalls gelingt dies auch mit einem Excelblatt, wenn man noch in Visual Basic mit ins Boot nimmt.

In der Aufgabenstellung von @Neige gibt es keine endliche Zahl von Lösungen, da die Seitenlänge eines Quadrates unendlich klein angenommen werden kann...

 

[Friederich]

Der größte gemeinsame Teiler von 1140 und 1675 dürfte 5 sein. Hier ein Tool dazu: http://www.mathepower.com/ggt.php

 

[Fidgety Feet]

@Friederich
Bitte mal zum Spaß die Wert in Zoll umrechnen:
1140 mm >> 44,88188976377953 in
1675 mm >> 65,94488188976378 in
und damit das Tool mal füttern, viel Spaß bei der Überraschung

 

[rafikus]

Es ist wie andreas_w schon oben geschrieben hat. Der größte gemeinsame Teiler gibt die Seitenlänge des größtmöglichen Quadrates für diese Aufgabenstellung.
Es bietet sich also an, eine der Seiten anzugleichen, damit es etwas besser passt.

Wenn man die Dicke des Materials für die Sprossen einberechnet, wird es noch wilder. Man möchte doch, dass die freien Felder quadratisch sind.
Bei den gegeben Längen passt es mit 5 als größten gemeinsamen Teiler (ggT) nur für Materialdicke 0mm, 10mm, 15mm, 20mm und 30mm (durchgerechnet mit Dicken von 10mm bis 30mm, 1mm Schritte)

Macht man die Seiten 1140mm und 1676mm lang, dann ergibt sich 4mm als ggT für Materialdicke 0, und schon 8mm für Materialdicke 20mm (mit Dicken von 16mm bis 20mm durchgerechnet)

Es ist also schon eine wilde Sache, wenn man es ganz genau haben möchte.

rafikus

 

[Fidgety Feet]

@rafikus
Wird ggT mit 5 als Kantenlänge der Quadrate gesetzt, dann sind es 76380 klitze kleine Quadrate - tolles Rankgitter Nimmt man noch die Materialstärke der Sprossen dazu, dann....

Wird ggT mit den ungebrochenen Zahlen 1140 und 1675 bestimmt, dann ist ganz klar die Zahl 5 der Favorit, setzt man für die Strecken die in Zoll umgerechneten Maße 44,88188976377953 und 65,94488188976378 ein, dann folgt ggT dem Wert 7,105427357601E-15,
und das soll dann die Kantenlänge eines Quadrates sein, durch das sich noch eine Pflanze hindurchquälen soll?

Worauf kommt es bei der Aufgabe an? Die größtmögliche Menge als ganzzahliges Vielfachen einer unbekannten Strecke x (Kantenlänge des Quadrates) auf zwei bekannten Strecken unterzubringen? Wer hat denn davon gesprochen, dass die Strecke x eine nicht gebrochene Zahl sein soll?

Wenn man die beiden Strecken a=1140 und b=1675 als maximale Größen als gegeben hinnimmt, dann sollte doch zunächst die Materialstärke m berücksichtigt werden. Damit es funktioniert, muss man die Strecken a' = a - m und b' = b - m berechnen und erst dann erfolgt die Festlegung der Teilung.... Wobei aber immer noch offen ist, welche Größe das Quadrat haben soll....

 

[Neige]

@Fidgety Feet
Vielend Dank für deine Ausführungen. Die Größe der Quatrate ist erst mal zweitrangig, es sollte etwa im Verhältnis zur Größe vom Rechteck passen. Die Stärke der Stäbe hab ich mit 30×30mm vorgesehen.
Ich muss mir deinen letzten Post nochmal sehr genau durchlesen. Eben hab ich den Kopp so voll, dass ich's im Moment ehrlicherweise noch nicht ganz kapiere.

 

[uli2003]

Da die Quadrate recht sicher keine Ganzzahlen sein müssen,
bietet sich erst einmal eine Teilung in etwa gewünschter Größe in der Breite an, in der Höhe dann eine Division mit Rest. Diesen Rest teilt man dann auf die Quadrate auf.
Bei kleinem Rest fällt das nicht auf, bei zu großem Rest ist dann die Teilung zu ändern, oder die Maße des Raumteilers generell.
Alles andere macht keinen Sinn, auch keine mathematische Zollakrobatik.

 

[Fidgety Feet]

@Neige
Bei einer Sprossenstärke von 30 mm käme man bei waagerecht 8 Feldern auf nahezu 139 mm der nominellen Kantenlänge, licht wären das 109 mm. In der senkrechten Aufteilung würde das 11 Felder ergeben, wobei ein Rest von ca. 119 übrig bleibt.

 

[Fidgety Feet]

Alles andere macht keinen Sinn, auch keine mathematische Zollakrobatik.

Ich habe mich zunächst auch von den ggTs verleiten lassen. Die Zollakrobatik war aber nur ein symbolischer Akt, um auf den ggT-Weg als Weg ohne Lösung hinzuweisen....

 

[Friederich]

Es ist wie andreas_w schon oben geschrieben hat. Der größte gemeinsame Teiler gibt die Seitenlänge des größtmöglichen Quadrates für diese Aufgabenstellung.
Es bietet sich also an, eine der Seiten anzugleichen, damit es etwas besser passt.

Ja, und zwar mit einer Aufteilung, die eine möglichst geringe Abweichung vom Quadrat bewirkt.
Das macht man am einfachsten durch Probieren. Mit Excell geht das ganz schnell. Hab mal verschiedene Teilungen durchrechnen lassen:
Bei 11 Fächern in der Breite z.B. wäre jedes 103,6mm breit und 104,7mm hoch.
Die Abweichung vom Quadrat betrüge hier 1%.

 

[Friederich]

@Friederich
Bitte mal zum Spaß die Wert in Zoll umrechnen:
1140 mm >> 44,88188976377953 in
1675 mm >> 65,94488188976378 in
und damit das Tool mal füttern, viel Spaß bei der Überraschung

Da ist nichts Überraschendes. Das Tool rechnet mit exakt den Daten die man eingibt.
Die unvermeidlichen Rundungsfehler beim Umrechnen in Zoll, und seien sie noch so klein, führen dann logischerweise zu einem gänzlich anderen Ergebnis.

 

[Fidgety Feet]

Na ja, ist es nur der Rundungsfehler? Darauf wollte ich nicht hinaus. Man könnte ja mal aufrunden 45 in x 66 in, ist eine fast ähnliche Ausdehnung wie bei den metrischen Maßen. Der ggT ist dieses mal der Wert 3. Der Lösungsweg liegt nach meinem Verständnis nicht darin, den ggT zu finden. Mit dem Lösungsansatz gemäß deinem EXCEL-Blatt liegt man schon auf der richtigen Spur.

 

[hobbybohrer]

Hallo,
ist h die lichte Schrankhöhe und b die lichte Breite und d die Dicke der Trennteile, ist weiters
H die Anzahl der Quadrate übereinander, und B die der Quadrate nebeneinander, dann ist das Verhältnis dieser Anzahlen
H/B = (h+d)/(b+d). Ist a die lichte Kantenlänge der Quadrate, dann ist a=h/H=b/B.
Zwei Beispiele:
H/B sei 1,5
z.B.: 6 Quadrate hoch und 4 breit. Jedes ist 250 lichte Kantenlänge groß.
Dann ist h = 5*30 + 6*250= 1650 und b= 3*30 + 4*250 = 1090
oder 9 Quadrate hoch und 6 breit, jedes hat 167 Kantenlänge.
Dann ist h = 8*30 + 9*167 = 1743 und b = 5*30 + 6*167 = 1152

Mathematik ist sowas von praktisch!

Grüße Richard

 

[rafikus]

Ich gebe zu, dass man mit dem ggT nur das größte Quadrat findet, aber im vorliegenden Fall ist es nunmal die 5.
Man beachte, dass es sich bei den Längen schon um Angaben in mm handelt. Wie soll man da mit einer noch kleineren Teilung fertigen?

Die Aufgabe an sich, kann man durch die Primfaktorzerlegung lösen.
Nehmen wir mal an, es handelt sich um die Längen 1500mm und 2000mm. In diesem Fall sieht man sofort, dass die größten Quadrate hier die Länge 500mm haben können und 500 ist eben ggT von diesen zwei Zahlen.
Nun möchten wir aber eventuell kleinere Quadrate machen. Einige findet man sehr leicht nach kurzem Überlegen. Das wären z.B. die Kantenlängen 250mm, 100mm. Aber gibt es auch andere Möglichkeiten?
Die Primfaktorzerlegung von 1500 ist 2*2*3*5*5*5 hier ist auch die Seite hilfreich:http://www.mathepower.com/primfaktor.php
Die Primfaktorzerlegung von 2000 ist 2*2*2*2*5*5*5
Jetzt sucht man sich die Faktoren, welche bei beiden Zahlen vorkommen, das wäre hier 2*2*5*5*5 . Die Multiplikation beliebiger Auswahl dieser Faktoren ergibt eine Zahl, durch die sowohl 1500 als auch 2000 restlos teilbar ist. Wenn man für die Auswahl alle nimmt (2*2*5*5*5) bekommt man eben die schon erwähnten 500. Man kann aber auch 5*5*5 rechnen und erhält 125. 1500mm geteilt durch 125mm ergibt 12 Teile, 2000/125 =16Teile
Man kann also 12x16 Quadrate in diesem Feld unterbringen, wobei die Kantenlänge dieser Quadrate 125mm ist.

Kommen wir nun zum Feld aus dem Eröffnungsbeitrag
Bei der Primfaktorzerlegung von 1140 erhält man 2*2*3*5*19.
Angenommen, die andere Läge wäre 1596mm, die Zerlegung ergibt 2*2*3*7*19
Die gleichen Faktoren sind hier 2*2*3*19, die Multiplikation ergibt hier 228, was auch der ggT von 1140 und 1596 ist.
Das größte Quadrat für diese Kombination hat also die Länge von 228mm, kleinere sind 2*3*19=114 oder 2*2*19=76
1140/140=10 , 1596/140=14 ergibt 10*14 Quadrate mit der Kantenlänge 114mm

Jetzt haben wir uns keine Gedanken über die Sprossendicke gemacht. Es sollen 30mm sein.
Dann hätte ich den Vorschlag die eine Seite bei 1140mm zu lassen und für die andere 1608mm zu nehmen.
Damit kann man für die freien Felder (ohne die Sprossen gesehen) 204mm nehmen
Wenn die freien Felder kleiner sein sollen, dann geht es leider nur noch mit 87mm.

Ich habe es auch durchgerechnet, wenn die 1675mm unverändert bleiben sollen, aber in diesem Fall komme ich nicht nahe genug an die 1140mm.

Wer besseren Vorschlag hat, möge ihn bitte auch mitteilen. Wer einen Fehler in meinem Rechengang findet, möge das bitte aufzeigen.

Mit 0,1mm kann man das sicherlich auch rechnen, aber wie soll man das dann abmessen und sägen?

rafikus

 

[rafikus]

Die Lösung mit den komischen Einheiten ist interessant.
Wenn aus den 1140mm doch irgendwie 1143mm werden könnten und aus den 1675mm nun 1676,4mm, dann könnte man Quadrate mit der Kantenlänge 3 der Einheiten, oder 76,2mm haben.
Wenn man passendes Messzeug mit den komischen Einheiten hat und nur dieses nutzt, kann man es für diesen Fall sauber abmessen.
Aber wie sieht die Sache aus, wenn nun 30mm Sprossendicke dazu kommt?

 

[Fidgety Feet]

H/B sei 1,5
z.B.: 6 Quadrate hoch und 4 breit. Jedes ist 250 lichte Kantenlänge groß.
Dann ist h = 5*30 + 6*250= 1650 und b= 3*30 + 4*250 = 1090

Hängen die Trennteile der Quadrate im Randbereich in der Luft? Ganz außen (links/rechts/oben/unten) müssen doch auch noch Sprosenteile sein!

Nach meinem Verständnis und wie bereits weiter oben schon mal angedeutet müsste das Beispiel lauten:
h = 7*30 + 6*250= 1650 und b= 5*30 + 4*250 = 1150

 

[rafikus]

Ich habe das so verstanden, dass in das gegebene Rechteck nur noch die inneren Sprossen rein sollen. Das freie Rechteck hat also schon einen Rahmen drum herum.

 

[Friederich]

Na ja, ist es nur der Rundungsfehler?

Ich glaub du hast Recht, da stimmt was nicht. Habs mal ausprobiert. Anscheinend kommt das Tool mit Kommastellen nicht zurecht.
ggT von 15,15 und 10,1 z.B. wäre ja ganz klar 5,05. Das kriegt es nicht hin.
Aber davon abgesehen würde es auch nur mit dem allerkleinsten Rundungsfehler durch Umrechnung in eine andere Einheit nicht funktionieren.

 

[Neige]

ch habe das so verstanden, dass in das gegebene Rechteck nur noch die inneren Sprossen rein sollen. Das freie Rechteck hat also schon einen Rahmen drum herum.

Korrekt. Herzlichen Dank, dass ihr euch soviel Mühe macht. Bis ich mich bei dem Lesestoff durchgewurschtelt habe....