Dann wollen wir mal rechnen:
Für die Notierung der Formeln habe ich mich an die in EXCEL gebräuchliche Schreibweise angelehnt.
- für die Kantenlänge
a nehme ich mal einen Wert von 40 mm an. Damit ergibt sich für den Radius
R der Umkugel bei Verwendung der bekannten Ikosaederstumpf-Formel
R = a / 4 * (58 + 18*5^0,5)^0,5
ein Wert von 99,12074636 mm.
- Für das gleichschenlige Dreieck mit Schenkellänge
R und der Kantenlänge
a muss nun die Höhe
h ermittelt werden. Dafür wende ich den Pythagoras an
h = (R^2 - (a/2)^2)^0,5
wobei sich ein Wert von 97,08203932 mm ergibt.
- Den gleichen Wert erhält man, wenn die Formel für den Kantenkugelradius beim Ikosaederstumpf
r = 3/4 * a * (1 + 5^0,5)
angewendet wird. D.h. dass sich die Mittelpunkte der Kantenstrecken
a ebenfalls auf einer gemeinsamen Kugeloberfläche mit dem Radius
r befinden. Dem entsprechend kann die Berechnung für
h mit der Berechnung für
r gleichgesetzt werden, eine Ableitung erspar' ich mir in diesem Umfeld.
Als nächstes wird ein weiteres gleichschenkliges Dreieck zu berechnen sein, zwei von dessen Eckpunkten fallen mit den Mittelpunkten der Kantenstrecken
a zusammen, der Abstand zwischen diesen Punkten entspricht der Breite
b6 des 6-Ecks
b6 = a * 3^0,5
auf dessen Fläche das gleichschenklige Dreieck mit der Schenkellänge
r senkrecht steht. Für
b6 erhält man den Wert von 69,2820323 mm bei gegebener Kantenlänge
a = 40 mm. Aus dem Gegenwinkel zur Fläche des 6-Ecks ergibt sich der Winkel
alpha
alpha = GRAD(ARCSIN(b6*0,5 / r))
dessen Wert mit 20,90515745° einem der beiden gesuchten Winkel entspricht.
Joa Uli, dass überzeugt mich, zumal ich den Knoten in einem meiner früheren Rechengänge aufdecken konnte. Den Rechengang für den zweiten Winkel schenk' ich mir, mich hatte das Projekt nur aus der Sicht interessiert, wie man zu den Winkeln kommt.