Einfache Geschenkidee für den Herren

[Pfaff]

re

Hallo,

außen möchte ich keine V-Fuge. Maximal die Kante leicht anschleifen. Also habe ich nur den inneren Winkel. Der Ikosaeder soll aus 32 Teilen, davon 12 Fünfecke und 20 Sechsecke bestehen.

Ich komme drauf, das eine Ecke 36 Grad hat, Sprich eine Fase 18 Grad. Ist das richtig ?

MfG

 

[RockinHorse]

Hallo,

außen möchte ich keine V-Fuge. Maximal die Kante leicht anschleifen. Also habe ich nur den inneren Winkel. Der Ikosaeder soll aus 32 Teilen, davon 12 Fünfecke und 20 Sechsecke bestehen.

Ich komme drauf, das eine Ecke 36 Grad hat, Sprich eine Fase 18 Grad. Ist das richtig ?

MfG

Ja gut, die Anzahl der Teile hat der TO (Obi) selbst genannt. Ich knoble derzeit auch noch. Zur Zeit stützt sich meine Annahme noch darauf, dass sich der Umfang der Kugel zusammensetzt aus:

• 2 x der Bogenlänge, die sich jeweils über die Breite eines 6-Ecks ergibt
• 2 x der Bogenlänge, die sich jeweils über EINE Seitenkante eines 5-Ecks ergibt
• 4 x der Bogenlänge, die sich jeweils über die Höhe eines 5-Ecks ergibt

Unter der Voraussetzung, dass die Seitenlängen der 5- und 6-Ecke gleich groß sein müssen, kann man sehr leicht die Kreissehnen errechnen. Nehme ich einmal an, dass die Sehnenlänge unter einer Seitenkante 40 mm betragen sollte, dann komme ich zu einer Sehnenlänge von 69,28.. mm unter dem Bogen über die Breite eines 6-Ecks, bei einem 5-Eck beträgt die Sehnenlänge 61,55 .. mm unter dem Bogen über der 5-Eck-Höhe. Aber ich fürchte, dass ich mich da irgendwie verlaufen hab'. Rein intuitiv sollte von einem GLEICHEM Winkel bei allen 5- und 6-Ecken ausgegangen werden können, wie du jetzt aber auf exakt 18° kommst, da hab' ich mir wahrscheinlich für den Augenblick wohl selbst den Weg verbaut.

 

[RockinHorse]

EDIT: So und jetzt im zweiten Anlauf.

Rein intuitiv sollte von einem GLEICHEM Winkel bei allen 5- und 6-Ecken ausgegangen werden können, wie du jetzt aber auf exakt 18° kommst, da hab' ich mir wahrscheinlich für den Augenblick wohl selbst den Weg verbaut.

Ich hätte weiter denken sollen. Da die Anfangs- und Endpunkte aller Sehnenstrecken zwangsläufig auf dem Umfang EINES Kreises liegen, MÜSSEN bei unterschiedlich langen Sehnenstrecken auch die Winkel unterschiedlich sein. Der mathematische Beweis fehlt mir allerdings noch mir noch.

Bei der graphischen Ermittlung habe ich den Radius des Umkreises mit 62,9254... mm näherungsweise ermittelt und: die Kante eines 6-Eckes, die an ein 5-Eck angrenzt, hat eine Hinterschneidung von 27,1°, die gegenüberliegende Kante des 5-Ecks hat dagegen eine Hinterschneidung von 23,8°. Somit ist die Angabe von 18° vom Tisch, für mich zumindest.

Da alle Kanten eines 5-Ecks immer zu einer Kante eines 6-Ecks benachbart sind, haben alle Kanten des 5-Ecks die Hinterschneidung mit dem gleichen Winkel.

Wie es sich mit den anderen Kanten des 6-Eckes verhält, habe ich noch nicht ermittelt.

 

[Pfaff]

Also ich habe dieses Schnittmuster gefunden:



5 x Seitenlänge Fünfeck
5 x Durchmesser Sechseck

Wobei Durchmesser = 2 mal Seitenlänge ist.



Somit Umfang/15 = Seitenlänge Fünfeck


Das mit den 18 Grad überdenke ich auch nochmal.

MfG

 

[RockinHorse]

Also ich habe dieses Schnittmuster gefunden:

5 x Seitenlänge Fünfeck
5 x Durchmesser Sechseck

Das mit den 18 Grad überdenke ich auch nochmal.

MfG

Das kannst du aber nur anwenden, wenn du den Ikosaeder aus Papier bastelst.

 

[tomcam]

Einfache Geschenkidee...

 

[RockinHorse]

Somit Umfang/15 = Seitenlänge Fünfeck

Das gilt nur für die Länge des Schnittmusterbogens.

Die Bogenlänge über der Kante eines 5-Ecks ist immer gleich der Bogenlänge eines 6-Ecks.

Aber die Bogenlänge über dem Durchmesser eines 6-Ecks ist sicher kleiner als 2 x Bogenlänge über der Kante. Bei großen Kugeln wird der Unterschied nicht wesentlich ins Gewicht fallen, bei kleinen Kugeln macht sich der Unterschied sicher deutlich bemerkbar.

 

[Pfaff]

Warum nur bei Papier ?

Denkfehler, bin immer noch bei flachen Seiten
Und will jetzt ja nur den Winkel rausbekommen

 

[RockinHorse]

Warum nur bei Papier ?

Denkfehler, bin immer noch bei flachen Seiten
Und will jetzt ja nur den Winkel rausbekommen

Ich hab' auch noch einen Denkfehler bei der graphischen Ermittlung, komm der Sache aber schon näher.

 

[Pfaff]

re

bei mir wird es auch klarer, aber den Winkel habe ich noch nicht

Geometrie: Ikosaederstumpf-Rechner

 

[Pfaff]

re

mein Gedankengang:

ein Fußball bei der Fußball WM hat einen Umfang von 69 cm
Quelle: Fußball (Sportgerät) ? Wikipedia

Das Ergibt:
69 cm / 15 Teile = 4,6cm Seitenlänge (5-Eck - 6-Eck)
Laut dem Rechner erben sich folgende Maße:



Daraus folgt:



11,64 Grad

richtig ???

 

[RockinHorse]

bei mir wird es auch klarer, aber den Winkel habe ich noch nicht

Geometrie: Ikosaederstumpf-Rechner

Die Formel und die Ableitungen dazu hatte ich auch schon mal an anderer Stelle gefunden. Allein bei der Gegenüberstellung des Fotos aus diesem Thread zu der von dir gezeigten Abwicklung hadere ich noch mit mir, wo bei meinem graphischen Lösungsversuch der Fehler liegt. Es sieht so aus, als wenn bei meinen Annahmen, die ich aus dem Foto abgeleitet habe, ein Irrtum unterlaufen ist. Irgendwie eine spannende Sache.

 

[uli2003]

Machts euch nicht so schwer. Alle 5- und 6-Ecke bilden auf den Mittelpunkt bezogen gleichseitige Pyramiden mit der Höhe des Radius der Umkugel.
Hieraus lässt sich Mithilfe einfacher Winkelfunktionen die Schmiege errechnen.
Und ja, sie sind verschieden.

Grüße
Uli

 

[RockinHorse]

Machts euch nicht so schwer. Alle 5- und 6-Ecke bilden auf den Mittelpunkt bezogen gleichseitige Pyramiden mit der Höhe des Radius der Umkugel.
Hieraus lässt sich Mithilfe einfacher Winkelfunktionen die Schmiege errechnen.
Und ja, sie sind verschieden.

Grüße
Uli

Jau, so isses. Is' auch nicht so schwer, wenn man sich durch gewurstelt hat, es sei denn es ist das tägliche Brot des Mathematikes, dann geht's noch schneller. Mir waren die Stumpfikosaeder eben nicht mehr so geläufig und bin dabei prompt in die erste Falle herein getappt. Dann hatte ich bei der Betrachtung des Fotos den nächsten Fehler gemacht. Und grad als ich die Lösung hatte, da kam dein Post.

Die Winkel: Beim 6-Eck beträgt die Hinterschneidung 20,45° und beim 5-Eck sind es 18,09°.

 

[Obi]

Hallo
tolle Rechnungen habt ihr da
die 20,45 beim Sechseck und die 18,10 beim Fünfeck hatte ich auch mal.
Sind aber teoetische Werte, hatt beim Zusammenbau nicht funktioniert, deshalp habe ich ja 10 Stück in den Ofen verfrachtet.
Hoffe ich hab bald mehr Zeit, dann werde ich euch mal die Details zeigen.

Gruß Obi

 

[Pfaff]

re

das wär super Obi.
Hoffe es geht halbwegs zeitnah.

MfG

 

[uli2003]

Wenn ich mich nicht verrechnet habe müssen die Winkel anders lauten.
Sechseck: 20,905°, Fünfeck: 16,472°.

Werde das wenn ich ausgeschlafen bin nochmals prüfen

Grüße
Uli

 

[Pfaff]

re

@ uli2003,

wie kommst du auf die 2 Winkel ?

MfG

 

[uli2003]

Der Flächenwinkel Hexagon/Hexagon im stumpfen Ikosaeder beträgt cos-1 (-1/3*√5)= 138,189685°.

Durch zwei geteilt -90 Grad ergibt 20,905157° Schmiege.

Flächenwinkel Hexagon/Pentagon: cos-1 (-√(5+2*√5)/15) = 142,622632°

Macht eine Winkeldifferenz von 4,432947°, um die die Schmiege der Fünfecke kleiner sein muss.
20,905157° - 4,432947°= 16,47221°.

Grüße
Uli

 

[Pfaff]

re

@ uli2003

könntest du mir das ganze noch an einem Dodekaeder erklären ?

Das sollte die Formel sein:



Ergibt (116.565 - 90) / 2 = 13.2825

Aber das kann ja auch nicht sein ?

MfG

 

[uli2003]

Erst die Winkelhalbierende bilden. 116,565/2=58,2825°

Dann subtrahieren wir die obligatorischen 90° (richtigerweise muss es 90°-58,2825° heißen), da wir unsere Sägen vom 90° Winkel beginnend einstellen, bleiben 31,7175° als einzustellende Schmiege.

Grüße
Uli

 

[RockinHorse]

Machts euch nicht so schwer. Alle 5- und 6-Ecke bilden auf den Mittelpunkt bezogen gleichseitige Pyramiden mit der Höhe des Radius der Umkugel.
Hieraus lässt sich Mithilfe einfacher Winkelfunktionen die Schmiege errechnen.
Und ja, sie sind verschieden.

Grüße
Uli

Diese Erklärung konnte ich bisher nachvollziehen und in der Anwendung kam ich zu den Werten, die auch von Obi genannt wurden. Aber jetzt kommst du mit ganz anderen Winkeln daher ?

 

[uli2003]

Ja, klar. Ich habe etwas zu pauschal geschrieben, und es später nicht mehr berichtigt. Die Umkugel läuft über die Ecken der Pyramiden, somit ist die Höhe der Pyramiden der Radius der Umkugel abzgl. des darüber laufenden Kreisabschnitts der Umkugel.
Wenn du das berücksichtigst passen auch die Winkel.

Grüße
Uli

 

[RockinHorse]

Die Umkugel läuft über die Ecken der Pyramiden.

Das und nur das ist die Grundlage aller weiteren Überlegungen!

Somit hat jeder Eckpunkt eines x-beliebigen 5-Ecks oder 6-Ecks die gleiche Distanz zum Mittelpunkt der Kugel. Liege ich da richtig?

 

[uli2003]

Exakt. Die Seitenlinien haben folglich den Radius der Umkugel.

Grüße
Uli